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Analyse

1l1AB3 Analyse Informatique S6
Cours : 15 h TD : 16 h TP : 0 h Projet : 0 h Total : 31 h
Responsable : Loic SIMON
Pré-requis
Notions mathématiques de bases (convergence des suites de nombres, suites de fonctions, suppremum et infimum, continuité, dérivation,...)
Objectifs de l'enseignement
Etablir le cadre théorique nécessaire a l'analyse harmonique (espaces de fonctions, mesures et distributions).

Se familiariser avec les principes généraux de la transformée de Fourier et ses usages applicatifs (e.g. PDE).

Initier à certaines techniques devenues les pierres angulaires en analyse fonctionnelle.
Programme détaillé
1) Théorie de la mesure et intégration

- Espaces mesurés abstraits: théorie de la mesure abstraite, construction de intégrale de Lebesgue, résultat de convergences, Théorème de Fubini-Tonelli

- Espaces euclidiens: construction de la mesure de Lebesgue, continuité/dérivation sous intégrale, changement de variable, théorème fondamental du calcul

2) Espace de fonctions et distributions

- Espaces Lp (p>=1): normes Lp et espaces de Banach, cas p=2, sous-espaces denses, convolution, TF, techniques d'interpolations

- Distributions: fonction tests, espace de Schwartz, semi-norme, distribution, distribution tempérée, exemples de distributions ( distribution associée à une fonction L1loc notamment l'echelon de Heaviside, distributions de Dirac), principe d'extension par dualité linéaire (e.g. dérivées faibles, TF, convolution)
Applications (TD ou TP)
Différentes applications seront abordés, notamment en TD. Voici quelques exemples potentiels:

- le phénomène de Gibbs

- le théorème d'échantillonnage de Shannon

- l'incertitude d'Eisenberg
Compétences acquises
Acquisition d'outil d'analyse modernes: mesures, distributions, transformée de Fourier.

Compréhension de méthodes d'analyse puissantes: approximation, solutions faibles.
Bibliographie
Rudin, Walter. Real and complex analysis (3rd). New York: McGraw-Hill Inc, 1986.

Tao, Terence, ed. An introduction to measure theory. Vol. 126. AMS Bookstore, 2011.

http://terrytao.wordpress.com/

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